Jsou matematikové realisté?

Nejprve stručné a velmi zjednodušené vysvětlení pojmu, který je použit v nadpisu:
V době, kdy filosofii vládla scholastika, došlo k prvnímu zásadnímu sporu mezi jejími zastánci, který více-méně "vyšuměl" překonáním scholastiky dalšími filosofickými směry (či spíše oprášením směrů antických) za renesance. Uvedený spor se vedl mezi nominalisty a realisty. Realisté prohlašovali, že k obecným pojmům "stůl", "strom", "zvíře" apod. existují kdesi v "ideálním světě" jakési předobrazy, a že existence těchto předobrazů je naprosto reálná (odtud realisté). Nominalisté zase prohlašovali, že takovéto pojmy jsou "pouhá jména" (lat NOMEN, odtud nominalisté), "zachvění vzduchu", která nemají žádný reálný podklad. Od realistů tedy vede cesta zpět někam ke světu před známou Platónovou jeskyni, směrem dopředu zase až k Ryhopskému lesu Roberta Holdstocka, případně k Amberu Rogera Zelaznyho.
Od nominalistů vedou přímé vývojové linky k některým současným filosofickým směrům, zastánci něčeho, co by se blížilo těm realistům, jsou vcelku vzácní až kuriosní. Řekněme si to upřímně, i jakési "spontánně vzniklé" nazírání světa, neučesané do nějaké sofostikované filosofické koncepce, se bude blížit spíše tomu nominalismu, než realismu. I v přírodovědecké nomenklatuře, kde existují tzv. typové druhy (rodů a vyšších taxonů rostlin a živočichů), jsou tyto typové druhy použity jako základ, na němž je postaven reálně neexistující ideální druh daného taxonu, než jako cosi, co by představovalo tento ideál samotný. A v tomto pojetí vytvořil základy moderní taxonomie už sám K. Linné.*
A nyní k té matematice: Zde se setkáváme s řadou zcela abstraktních pojmů, které jsou pro praxi velmi obtížně hodnotitelné, a pracuje se s nimi jako s jakousi "virtuální realitou".
Vezmeme si klasický příklad druhá odmocnina ze dvou. Zapíše se to jakýmsi pochybným "alchymistickým" symbolem, přestože se to dá zapsat daleko jednodušeji jako sqrt(2), sqr(2) (ve velkém množství programovacích jazyků), nebo \sqrt{2} v TeXu. Existence uvedených zápisů také jasně dokazuje, že jakékoli "alchymistické" symboly jsou naprosto bezcenné, že se totéž dá stejně dobře vyjádřit i běžně tisknutelnými znaky (a tudíž v mnoha ohledech i lépe, protože systémů na tisk matematické alchymie je nepřehledné množství a většinou nejsou vzájemně kompatibilní, ani co do vstupu, ani co do výsledku).**
Co je ovšem výstupem tohoto pojmu?
Matematikové pracují s jakýmsi abstraktním ideálem, jehož hodnotu neznáme a k jehož hodnotě dokonce ani nevede "přes definici" nějaká jednoduchá cesta (jedině hádat čísla, násobit je sebou samým a korigovat směrem k tomu, aby se výsledek tohoto násobení blížil původnímu číslu, v tomto případě dvěma). "Ideální matematický vztah" tedy ani není s to podat informaci o výpočetním algoritmu k získání příslušné veličiny.

Půjdeme ještě dál:
Troufám si tvrdit (a každý, kdo má s výpočetní technikou jiné než naprosto začátečnické zkušenosti, mi to potvrdí), že vlastně nějaká "odmocnina ze dvou" ve skutečnosti vůbec neexistuje. Konkrétní číslo, které dostaneme, ať už ho počítáme ručně podle některého z možných algoritmů, dolujeme z tabulek nebo logaritmického pravítka, nebo počítáme tím či oním konkrétním software, bude vždy nakonec závislé na tom pracovním postupu. A dokonce nejen na algoritmu, zapsaném v nějaké konkrétní matematické knihovně, ale i na tom, jakou "vnitřní reprezentaci" čísel bude mít příslušný software (a případně i hardware). Dokonce si troufám tvrdit, že tatáž matematická knihovna, přeložená jednou pro 32 a jednou pro 64 bitovou architekturu může dát trochu odlišný výsledek. V některých případech se můžeme setkat i s tím, že sled číslic na tiskárně nebo monitoru bude sice totožný, ale rozdíly na nezobrazené části čísla budou takové, že test totožnosti různých odmocnin ze dvou dá výsledek FALSE.***
Jinými slovy, matematikové zde pracují s jakousi "ideální hodotou" (asi jako ti realisté např. s "ideálním stolem"), která se ovšem dostává do kolize s objektivně existující realitou.
Tato kolize byla za mých mladých let prakticky nepostřehnutelná, protože vrcholem běžně dostupné techniky bylo logaritmické pravítko (už tam ovšem nastával rozdíl mezi vlastníky 40 cm megapravítka a 10 - 15 cm tintítka, ale byl tak nějak pochopitelný a zvládnutelný).
Na brigádě mezi dvěma ročníky gymnázie jsem se pak setkal se základem dnešního problému. Byla jím kalkulačka "Jolka" bulharské provenience, mašina zvící dvou psacích strojů postavených vedle sebe, s výstupem na doutnavky s číslicemi 0 - 9 (jejich série na vstupu zároveň byla využita jako jeden z paměťových registrů), která uměla sčítat, odčítat, násobit, dělit a odmocňovat dvěma (a při posledním úkonu si přepsala obsah všech paměťových registrů, takže bylo nutné vymýšlet takové výpočetní algoritmy, aby to vadilo co nejméně - opět něco, kde "čistá matematika" člověku nijak nepomůže). Vyžadovala klimatizovanou místnost, což bylo pro práci za horkých prázdninových dnů (tehdy jsme normálním letním vedrům ještě neříkali "globální oteplování") docela příjemné.
Mimochodem, mezi tím, co jsem dokonči střední školu, absolvoval vysokou a vojnu, bylo možno pro náš ústav zakoupit několik těchto kalkulaček, které se po těch cca 10 letech technického vývoje už vešly do náprsní kapsy. Měli jsme je do praktika, kde si studenti počítali různé výškově hmotnostní indexy a porovnávali se podle nich s doporučenými hodmnotami. Ovšem pořád jsme udržovali v praktiku i logaritmické tabulky, protože jeden z těchto indexů pracoval se třetí odmocninou, kterou tyhle kalkulačky nezvládaly. Zvládla je generace přišedší (v ceně dostupné pro školství) za dalších cca pět let. Pak přišlo PMD, které ty indexy dokázalo vysypat všechny naráz po jednom zadání výšky a hmotnosti. A dokonce, pokud si s tím člověk pohrál, tak je i porovnat s normálními hodnotami, případně jejich rozpětím.
Což už ovšem představovalo nástup zmiňovaného průšvihu, protože už první osmibity měly jednoznačně zadrátovány určité výpočetní algoritmy (každý jiné) a člověk se postupně prokousával přes různé dialekty BASICu, javu, perl až k pythonu, kde ho nesmí zaskočit, že 1/2 = 0 (protože nezadal 1.0/2 nebo 1/2.0).
A dostáváme se ke stavu, který je v současnosti. Matematikové popisují jakési ideály, které jsou ovšem pro praxi zcela bezcenné, protože z nich nelze odvodit algoritmus výpočtu, a vedle toho existuje informatika, která si na náboženství nehraje a popisuje praktické výpočetní algoritmy (byť odvozené z matematických vztahů), ze kterých se sypou konkrétní čísla. A v řadě případů upozorňuje na implementační závislost výsledků. Čímž se dostává od bezcenného blábolení k reálnému světu.
Přičemž myšlení naprosté většiny lidí nepracuje s "ideálním stolem" nebo "ideální odmocninou ze dvou", ale s konkrétním truhlářovým výrobkem, nebo s konkrétní řadou čísel, vylezlou z konkrétní kalkulačky. Tím se stává tento "svět idejí" stále více odtrženým od reality a pro realitu stále méně prospěšným (pokuste se podle nějakých matematických definic napsat jednoduchý program a zjistíte, že to jsou vesměs bezcenné bláboly, pro tuto činnost naprosto irelevantní).
Z toho důvodu se vůbec nelze divit, že matematika v zájmu studentů propadá (a snaha o "násilné" zavedení povinné maturity jen zvyšuje nenávist studentstva vůči tomuto oboru), zatímco kvalitně vyučovaná informatika takovéto problémy nemá, protože má vůči matematickým pojmům lidskému myšlení přirozenější nominalistický přístup.

_____________________________
* Linnéova Systema naturae je navíc excelentní ukázkou nedůležitosti pojmu množiny pro třídění prvků světa, který nás obklopuje, v rozporu s tím, co o množinách tvrdili "čistí" matematikové v době nešťastného množinového experimentu.

**  Řekněme si to upřímně: Chemie přestala být obskurní sestrou obskurní alchymie a stala se vědou právě v době, kdy se podobné hieroglyfické symboliky vzdala a nahradila ji vzorci na bázi písmen a čísel. Ty jsou pro matematiku už dávno hotové, minimálně v podobě TeXu a Mathml, ale "čistí matematikové" to dosud nevzali na vědomí, případně to aktivně odmítají.

*** Na tuto a podobné "zrady", kdy "čistě matematicky" je program v pořádku, ale přitom nefunguje správně, upozorňuje řada učebnic programování.