neděle 2. listopadu 2014

Matematika u maturit? 5.

Závěr

Neviním ze současného stavu samotné matematiky. Ti si pouze nedokáží představit, že si někdo při pohledu na křivku (o 3D objektu ani nemluvě) nedokáže vybavit (vytvořit, odvodit) její rovnici (což platí odhadem spíš pro devadesátdevět lidí ze sta, než pro devět z deseti) a jsou zaraženi výčitkou, že jejich texty, které s podobnými vlastnostmi u čtenáře počítají jako s axiomem, jsou naprosto nesrozumitelné. A chovají se vůči zbytku populace podle známého hesla "sytý hladovému nevěří". Případně ho označují za "líné lemply".
Zcela jistě existuje mnoho rozumných důvodů se naučit a pamatovat si vzorec pi*(r^2), ale neexistuje naprosto žádný důvod si pamatovat půl stránky nesmyslných klikyháků, jejichž význam středoškolským studentům nikdy nikdo nevysvětlil, které údajně "dokazují" správnost tohoto vzorce (mimochodem, pi lze chápat jako korekční koeficient plochy čtverce na plochu kruhu a pak nějaké odvozování pomocí vyšší matematiky je zcela zbytečné; v praxi se navíc jeho aproximace získávají prostřednictvím ploch mnohoúhelníků, ne nějakými integrály a derivacemi). Nehledě k tomu, že tyto nesmyslné klikyháky zbytečně vytěsní z paměti ten vzorec pro výpočet plochy kruhu, který je jediný důležitý a který studenti budou potřebovat. Nicméně vzdělaný člověk může vědět, že nějaké takové odvození existuje. Tak, jako pro jízdu autem nepotřebuji znát chemické složení ocele v motorovém bloku, ale jsem ochoten věřit tomu, že je tam ocel, a ne třeba plastelína.
Důležité je, že uvedený stav, kdy výuka matematiky na středních školách vede u většiny středoškoláků k totálnímu odporu vůči této disciplíně, ledaskomu vyhovuje, protože matematicky negramotnou populaci lze snadněji zblbnout politicky vhodným směrem (viz níže uvedený příklad), včetně možnosti získat podporu pro projekty, které jsou naprostý nesmysl, odhalitelný použitím triviálních počtů, kterých ovšem ani významná část vysokoškoláků není mocna (zejména prakticky celá větev humanitních "věd"). To se pak projevuje i v podpoře "boje proti globálnímu oteplování", zavádění "alternativních energetických zdrojů", případně "vybudování chytrých (energetických) sítí", což jsou všechno věci, které by matematicky gramotná populace nutně musela odhalit jako nesmysl či vědomý podvod, protože k tomu opravdu bohatě a s rezervou stačí ta středoškolská matematika (možná s trochou fyziky), pokud by se ovšem učila pořádně.

Budu se tak trochu se stylizovat do podoby kolegy, který je nucen říct pacientovi "buďto si tu nohu necháte uříznout, nebo umřete".
Takže říkám zastáncům "čisté matematiky": S nemilosrdnou racionalitou "uřežte" z gymnaziální matematiky vše zbytečné (tj. zejména to, co prohlašujete za "krásné" a "logické"), co se v praxi u 80 - 90 procent studentů zvrhává na biflování hor nesmyslů. Jednoduše proto, že ono "krásné a logické odvozování" je v reálu u těchto středoškoláků kurzem malování obrazů pro nevidomé, nebo hry na housle pro neslyšící (pokud by byla výuka matematiky důsledně logická a vnitřně konzistentní, možná by se toto procento o něco snížilo). Právě tyto věci z ní v praxi dělají neúnosný "paměťový předmět", studenty nenáviděný a nepřinášející absolutně žádný vklad do následujícího života (včetně vysokoškolského studia). Druhou možností je, že středoškolskou matematiku jako takovou v dohledné době totálně pohřbíte. Může být klidně nahrazena nějakým kondičním počítáním, aby studenti nezapomněli učivo ZŠ, na němž staví většina vysokých škol. Tendence k tomuto vývoji už reálně existují.

Dovolím si ještě věnovat pietní vzpomínku promovanému matematikovi Husákovi, který se na konci totality pokoušel prosadit tézi, že živočišné bílkoviny jsou jedovaté a způsobují řadu chorob, a že nejlepší by bylo jejich striktní omezení ve výživě. Vzhledem k tomu, že tehdejší režim mlel i ekonomicky z posledního a nebyl schopen zajistit potraviny pro populaci, tak některým jeho koryfejům zněly tyto výsledky a teorie kolem nich jako rajská hudba. Pochopitelně, to, co mu vycházelo, byly naprosté nesmysly a matematické artefakty, kterých si, snad alespoň ze začátku, nebyl vědom (posléze možná už ano, ale držel lajnu). Když například srovnával populace ve vyspělých zemích s populacemi zemí třetího světa, tak nepoužíval žádné korekce na věkovou strukturu a další matoucí faktory, takže mu vcelku zákonitě vycházely bláboly. Budu-li např. srovnávat populaci žijící na pomezí smrti hladem, pojídající trávu a listí ze stromů, v níž většina příslušníků zemře před dosažením středního věku na infekce, podvýživu a následky dřiny (o šílené dětské úmrtnosti nemluvě), s populací naší, tak snadno dokážu, že mají podstatně méně rakoviny a infarktů než my, a "tudíž je jejich strava zdravější". A pokud získám politickou podporu režimu, který je na tom tak, že by docela rád poslal lidi se pást ...
Konec konců, sám pan Wagner, který se do v prvním díle citované diskuse o matematice také zapojil, se ocitl bezděky ve stejné situaci jako výše zmíněný matematik. Argumentoval výsledky své práce s gymnasisty, chodícími do vědeckého kroužku při instituci, v níž pracuje. Nějak si neuvědomil, že se jedná o silně selektované jedince, jednak z hlediska nadání, jednak patrně i z hlediska nadprůměrně kvalitně probíhající výuky, ať už školní nebo mimo školu. A na takovýchto jedincích se metodika výuky čehokoli prostě stavět nedá.
Obávám se, že tyto příklady jsou ukázkami výrazného tendování "čisté matematiky" k impotenci řešit cokoli praktického.

5 komentářů:

  1. Zdeněk Žíkovecký3. listopadu 2014 v 10:01

    Copak matematici, ale co třeba takoví muzikanti, ti také používají jakési klikyháky a kabalistické znaky, místo aby použili ABC-notaci :-)
    Ostatně marně přemýšlím, jaké neobvyklé symboly se asi mohou vyskytnout ve středoškolské matematice: odmocnina a integrál?

    OdpovědětVymazat
    Odpovědi
    1. 1. Nechystá se povinná maturita z hudební výchovy
      2. Pochopitelně i ty noty jsou, a poměrně snadno, převoditelné na ASCII znaky. Jak jinak by podle nich mohly hrát počítače? Uměl jsem to kdysi na Didaktikovi.

      Vymazat
  2. Zdeněk Žíkovecký4. listopadu 2014 v 1:24

    Ono by si to zasloužilo důkladnější rozbor, neb se to týká mnoha dimenzí; snad se k tomu časem dostanu, zatím jen stručně:

    (1) Postavení matematiky jakožto jedné ze základních věd, bez nichž není možné žádné další vzdělání. Kdo neumí číst, psát a počítat, ten se k ničemu užitečnému nehodí.

    (2) Názorový směr hlásající, že co nefunguje dobře, to je třeba zrušit. Jsou policisté líní nebo úplatní? Zrušme policii a každý si najměme soukromou ochranku! Jsou poslanci pitomci? Odstraňme demokracii a nastolme diktátora! (Připomnělo mi to také scénu z "Dobytí severního pólu čechem Karlem Němcem": Máš děravé boty? Sundej si je, je lepší jít bos než v děravých botách!)

    (3) Výpočetní výkon počítače (jakožto nejbližší známý model pro intelektuální výkon mozku) může být omezen dvěma příčinami: malou kapacitou paměti a malou rychlostí procesoru. Nedostatek v jedné dimenzi může být kompenzován dobrým výkonem v oblasti druhé: nemám-li rychlý matematický (ko)procesor, tak nebudu goniometrické funkce počítat složitým algoritmem, ale vyhledáváním v předpřipravených tabulkách. Podobně by měl učitel podat probíranou látku několika způsoby, aby vyhovala různým schopnostem studentů, přičemž různé schopnosti neznamenají nutně lepší a horší - ke správnému výsledku lze často dojít různými cestami. Vezměme si za jednoduchý příklad výuku malé násobilky:

    Člověk s fotografickou pamětí se jen podívá na tabulku a má hotovo.

    Jiný si nepamatuje symboly (Mimochodem, dokážete ve snu číst knihu? Mě se to nikdy nepodařilo, text se neustále mění a než přečtu jedno slova, tak už tam je zcela jiná věta.), a tak použije některou mnemotechnickou metodu, třeba si představí dvě labutě sedící na židli jakožto obrazné vyjádření položky 2×2=4.

    Na opačném konci k fotografické paměti je přístup kdy vyjdeme z násobilky binární - tam si není třeba žádnou tabulku pamatovat, protože je zcela pokryta obecnými zákony: nic krát cokoliv je definitoricky nic; a jedna krát něco je definitoricky totéž. Z bináru pak snadno přejdeme do oktalu či hexadecimálu, takže úloha znalosti decimální násobilky je převedena na úlohu převodu z a do decimálu.

    Nevím, jak malou násobilku řešíte vy; já si z toho sta položek pamatuji méně než polovinu. Spodní trojúhelník nepotřebuji vzhledem ke komutativnosti: nepamatuji se, kolik je 7× 6, stačí mi vědět, že je to totéž jako 6× 7. Nepamatuji se, kollik je 2× něco, stačí mi vědět, že je to totéž jako něco + něco. Nepamatuji se, kolik je 9× něco, stačí mi vědět, že je to totéž jako 10× něco − něco.

    (4) Kdysi jsem dospěl k poznatku, že učit se cizím jazykům je ztráta času - prostě je začněte používat a při tom se to naučíte. To lze rozšířit na jakékoli učení: nejlépe si něco zapamatujeme, když to používáme.

    Tím se ovšem dostáváme k tomu, že výuka se vlastně skládá ze dvou částí. Druhou (nebo spíš první) z nich je všeobecný přehled, kdy je podstatné zapamatovat si nikoliv konkrétní postup řešení, ale pouhý fakt, že nějaké takové řešení existuje. V dnešní internetové době bychom to mohli nazvat výukou klíčových slov, podle kterých si pak už řešení můžu vygůglovat; ovšem dokud ta klíčová slova neznám, tak mi ani ten internet nepomůže. (Ledaže tam znám nějakou nějakou diskusní skupinu, kde mi ta klíčová slova poradí).

    (5) Mám takový dojem, že (ve většině oborů) jsou obtížně dostupné poznatky na úrovni střední pokročilosti. Většina textů jsou buď minimální základy a pár neúplných ukázek pro úplné začátečníky, a nebo pak až detailní poznatky pro specialisty.

    (6) ABC-notace (natož pak LilyPond nebo různé hudební xml) jsou vhodné počítač, ale pro člověka by bylo hrát podle nich obtížné i u jednoduchých jednohlasých písniček, a přímo nemožné u skladeb složitějších. Podobné je to s notací matematickou: pro jednoduché kalkulátory byla výhodná reverzní polská notace, ale pro člověka je a x ² × b x × c + +, nebo nereverzní (+ (× a (² x)) (× b x) c), podstaně méně přehledné než obvyklé a × x ² + b × x + c.

    OdpovědětVymazat
  3. Zdeněk Žíkovecký4. listopadu 2014 v 1:32

    (7) Hudební výchovu jsem na gymplu neměl, bylo buď tato nebo výtvarná. Ale o nic jsem nepřišel, podle těch co tam chodili se výuka sestávala z informací typu "v kterém roce si Smetanův dědeček pořídil novou fajfku".

    OdpovědětVymazat
  4. Zdeněk Žíkovecký5. listopadu 2014 v 23:59

    (8) Pokud se na některé škole místo výuky matematiky provozuje memorování vzorečků, pak vyvstává otázka, proč toho šíleného kantora nevyhodí a nenahradí nějakým se zdravým rozumem. Odpověď je jasná: kde by ho vzali? Staří učitelé už vymřeli nebo přinejmenším odešli do důchodu, a kdo by se při dnešním ohodnocení (finančním i prestižním) učitelského stavu odhodlal studovat na pedagogiku? A mnoho z těch, co to přesto vystudují, nakonec raději prchne provozovat nějaký perspektivnější obor.

    (9) Vzorce si pamatovat netřeba, neb matematické jsou uvedeny na prvních dvou tuctech stránek (a fyzikální na posledních devíti stránkách) Matematických, fyzikálních a chemických tabulek. A nahlížení do tabulek není nic nesportovního, bylo to přípustné i při matematických a fyzikálních olympiádách.

    A co si počít po ztroskotání na pustém ostrově nebo v případě přežití zhroucení civilizace? Prostě si ty tabulky sestavit znovu. O tom, jak vygenerovat tabulku násobilky z pouhých tří definic (x*0=0, x*1=x, x*základ=x<<1) jsem se zmínil už výše. Dnes jsem shodou okolností potřeboval vzorec pro plochu povrchu koule (při spekulacích o tom, jaký je horní limit světové populace při určité maximální hustotě osídlení). Vzorec si pochopitelně nepamatuji, ale lze to snadno zintegrovat: rozdělíme to na proužky podél rovnoběžek, přičemž poloměr rovnoběžky na zeměpisné šířce fí je r*cos(fí), takže plocha elementárního proužku o šířce r * d fí je 2*pí*r²*cos(fí) d fí, tudíž integace od -pí/2 do +pí/2 dá výsledek 2*pí*r²*(sin(pí/2) - sin(-pí/2)) = 4*pí*r².

    A kolik je ten poloměr Země? Na to jsou dvě metody: buď podle mnemotechnické věty "ŠETŘI SE OSle" je to ŠEst tisíc TŘI sta SEdmdesát OSm, nebo jelikož je metr definován jako 1/10M poledníkového kvadrantu, tak odpovídající poloměr je 20M/pí. (Ten rozdíl (vyjde 6366 km) je důsledkem elipsoidnosti Země, těch 6378 km je poloměr rovníkový.)

    OdpovědětVymazat