středa 12. listopadu 2014

Matematika u maturit? 6

Záměr ministra Chládka udělat maturitu z matematiky povinnou do konce tohoto desetiletí znovu rozvířil diskusi na téma, jak se matematika vlastně na středních školách vyučuje a nakolik má význam pro praxi, včetně dalšího vysokoškolského studia.
Zásadním pramenem je, dle mého soudu, blog Ondřeje Šteffla, který tvrdě konstatuje patrně ten nejzákladnější problém: celá středoškolská výuka matematiky je zacílena na cca 10 procent studentů s matematickým nadáním a s perspektivou následného nástupu na matematicko fyzikální fakultu, případně některé fakulty technického učení. Zbylých 90 procent středoškoláků je z tohoto hlediska "odpad". Což je maskováno tím, že studenti, neúspěšní v matematice, jsou šmahem označováni za "líné lemply". Faktem je, že většina studentů se tu matematiku učí jako ryze paměťový předmět (eidetický typ paměti je výhodou), tj. v podstatě učením se nazpaměť malováním klikyháků a učením se nazpaměť "řešení" jednotlivých maturitních příkladů. Tedy stylem: naučím se zadaný sled "čínských znaků", aniž by mi kdokoli vysvětlil jejich význam a aniž by mi někdo řekl alespoň to, zda se jedná o poezii z doby dynastie Ming, nebo o Maovy sebrané spisy.
Prostě nějakých 80 - 90 procent středoškolských studentů potřebuje matematiku vyučovat zcela odlišnými metodami, nehledě k tomu, že potřebují i poněkud odlišné spektrum znalostí  dovedností, než student aspirující pokračovat ve studiu na matematicko fyzikální fakultě. To rozpětí je zde v důsledku nejistoty, nakolik "eidetický způsob učení se matematice" považujeme za smysluplný. Absolventi tohoto studia také nebudou aspirovat na první místa v mezinárodních matematických olympiádách, ale na druhé straně by měli být daleko spíše použitelnější pro úkoly, které před ně postaví praxe, nebo další studium.
Problém je, že korektní (tj. takovou, která by dávala pozitivní výsledky u většiny středoškoláků) metodiku výuky matematiky u nás téměř nikdo neumí. Rozhodně ji neumějí absolventi vysokoškolského studia matematiky, pedagogické větve, kteří se pak dostávají do pozice učitele malování a kreslení na škole pro nevidomé, aniž by si toho faktu byli vědomi, protože osoby neoplývající matematickým nadáním černé brýle a bílou hůl nenosí. Existuje několik málo projektů typu "matematika hrou", které IMHO také nejsou úplně korektním řešením. Pan Šteffl částečně jádro problému vidí, ale IMHO ani on nechápe, že matematika pro matematicky nenadané nemůže být "systémem myšlení", jak o tom píše on, prakticky ve shodě se zastánci povinných maturit z matematiky (asi jako od narození nevidomý nemůže mít vizuální představy).
Matematikové se sice rádi vytahují naprostou logičností matematiky, ale v naprosté většině případů nejsou schopni jednoznačně vyjádřit myšlenku. Většina textů psaných matematiky je jen soubor blábolů, z nichž jen někdy lze metodou pokus omyl či reversním inženýringem z příkladů zjistit správný postup výpočtu (algoritmus). Názorně to předvedl i Hynek Bíla v posledním příspěvku diskuse, citované v prvním díle této série: Rozčiloval se nad otázkou, zda ln p ^ q je ln(p^q) nebo ln(p)^q, "protože je jasné, že on se přece nikdy nesetkal s tím, že by platila druhá interpretace" a "to by navíc nemohla platit daná rovnice pro všechna čísla". Čímž bezděky předvedl blábolivost matematiky, protože zde je po čtenáři požadováno vědět, s čím se pan Bíla, nebo jiný matematik, setkal či nesetkal (protože v učebnicích matematiky nic takového definováno není, nehledě k tomu, že obecné zákony priority výpočetních úkonů podporují spíš právě tu druhou variantu). Rovněž představa, že "na různých stranách rovnice by byly takové početní úkony, že by rovnice neplatila", je zcela mimo realitu. Nehledě k tomu, že existuje řada rovnic, kde na různých stranách jsou různé úkony (např. na jedné násobení či dělaní, na druhé sčítání či odečítání), takže nelze dělat pravidlo, že na obou stranách rovnice musejí být stejné početní úkony. To možná "od oka" pro tento konkrétní případ zjistí těch cca 10 % matematicky nadaných jedinců mezi středoškolskou populací, zbytek bude muset nasadit reverzní inženýring, tj. propočítat s více čísly všechny možné varianty toho pýthického blábolu.
Dostali jsem se k tomu, že matematikové vnucují jakýsi "elegantní vzorec" typu toho e^x=z^y, jehož praktický význam je čistá nula, pak nutí studenty zapamatovat si sled jakýchsi řádků klikyháků a písmen a potom se z toho vynoří potřebný vzorec:
logaritmus x o základu z=ln(x)/ln(z) (ln = přirozený logaritmus)
Normálnímu člověku opravdu stačí onen vztah, který je pro praxi důležitý. Pořád ještě existuje řada používaných programovacích a kalkulovacích prostředků, které mají k dispozici jen ln a logaritmy o jiném základu je třeba dopočítávat (nebo stáhnout a nainstalovat speciální knihovny) a pořád ještě jsou např. dekadické logaritmy důležitější než ln, protože se vyskytují v řadě výpočetních postupů a jsou na nich závislé i konstrukce logaritmických a semilogaritmických grafů. Vše ostatní je opravdu zbytečný balast, zbytečné (protože k ničemu nepotřebné) biflování navíc k tomu vzorci a spíš překážející jeho bezpečnému zapamatování.
Prostě bude třeba vytvořit "matematiku pro nematematiky", tj. pro těch cca 90 procent středoškolské populace, která nemíří na matematicko fyzikální fakultu, nebo na některé obory techniky. Přizpůsobenou reálným možnostem matematicky nenadaných lidí, pro něž "elegantní oodvozování" znamená jen biflování stovek stran nesmyslných klikyháků, jejichž význam jim jednak uniká, jednak jim ho ani nikdy nikdo nevysvětlí (a pokud se o to snaží, stejně neuspěje, protože má o jejich způsobu uvažování úsudek na úrovni Rain mana). Že takovouto matematiku vytvořit jde, ukazují vcelku jednoznačně matematické texty (či texty o počítání) vytvořené nematematiky, případně matematiky "umravňovanými" nematematiky.
Další věcí je, že existuje řada vysokoškolských oborů, pro něž je středoškolská matematika v současném provedení naprosto bezcenný balast. Řada výpočtů v oblasti medicíny např. ryze matematické řešení ani nemá, protože důležitější jsou vstupní informace nematematického charakteru. A jako pedagogovi v této oblasti je pro mě opravdu přínosnější student, který na otázku objemu válce vody ve studni o zadaném průměru a výšce vodního sloupce vysype: pi*((d/2)^2)*v, než student, který se začne složitě ze sinusové a cosinusové věty pomoci prostředků vyšší matematiky "elegantně" propracovávat k tomu pi*r^2, s nejistotou dobabrání se správného výsledku. A který místo použití jednoduché trojčlenky zhasne v "elegantní a vysoce logické" soustavě několika rovnic o několika neznámých v době, kdy studenti používající "ilegální" trojčlenku již dokončí hodnocení výsledků a odkráčí do další hodiny.
Bylo by tragédií, pokud by se spousta kvalitních a nadaných jedinců nedostala na vysokou školu jen proto, že nechápe skřeky matematických "rain manů". Vyjádření zástupců průmyslu, jímž se zastánci obnovení povinných maturit také ohánějí, lze v tomto kontextu chápat jako snahu co největší  části populace uzavřít cestu ke vzdělání, aby bylo dost "materiálu" do montoven a mohlo se jít s platy dolů. Nehledě k tomu, že většina významných podniků je placena cizím kapitálem v jehož zájmu rozhodně není kvalitativní růst skutečně českého průmyslu jako možné konkurence.

Z výše uvedených důvodů se ztotožňuji s těmi hlasy, které říkají, že povinnou maturitu z matematiky lze zavést jedině poté, co bude provedena její velmi drastická rekonstrukce, a její zaměření přizpůsobeno těm cca 90 procentům středoškoláků, s nimiž se ta současná svým zaměřením i didaktickými postupy zcela míjí.
Nelze se naučit namalovat Monu Lisu (myšleno originál, okopírovat ji zvládne každý, kdo nemá třes v rukou a barvoslepost v očích), ale lze se naučit natřít zeď bez šmouh. Stejně tak se nelze naučit "elegantnímu odvozování", ale lze se naučit algoritmům řešení těch matematických problémů které zhruba odpovídají látce středoškolské matematiky.
Obávám se, a nejsem sám, že pokud se podaří "procpat" násilím přes oponenturu odborníků i široké veřejnosti povinnou maturitu z matematiky v situaci, kdy je vyučována zjevně špatně a stávající středoškolští profesoři ji dobře vyučovat ani nechtějí ani neumějí, dojde jen k tomu, že se ti špatně vyučující na svých pozicích zabetonují a problém bude dál zahnívat. Jistěže se tento proces může promítnout i do preferencí sociální demokracie o příštích volbách a budiž to panu ministrovi i jeho partajním kolegům přáno.

K panu Žíkoveckému (minulý článek o matematice a diskuse pod ním): Je jednodušší si zapamatovat, že objemy všech těles, která mají strany rovnoběžné s osou a osu kolmou na podstavu, se počítají plocha_podstavy * výška (= válec, všechny možné hranoly a krychle takto počítaná). Plocha podstavy se potom počítá podle plošné geometrie vč. toho, že studenti umějí zpravidla dekomponovat i nepravidelný víceúhelník na trojúhelníky (v podstatě k tomu potřebují znalost algoritmu dopočítání zbylých prvků trojúhelníka) a plochu obrazce pak vyjádřit jako součet. Problém mohou mít s tělesem, jehož podstavou je elipsa, protože jim nikdo neřekne, že plocha elipsy je plocha kruhu o průměru delší poloosy * (kratší poloosa / delší poloosa) a zbytečně složitě se jim to vysvětluje přes sinusy a cosinusy.
U těch integrálů je ten problém, že studenti se nedozvědí algoritmus jejich provádění. Opět se učí nazpaměť řady klikyháků "odvození" speciálních případů, ale nějaký obecný algoritmus, ekvivalentní např. algoritmu sčítání či násobení, matematikové nejsou schopni podat, případně ho mají utopený v haldách nesmyslného balastu "odvozování", "důkazů" apod.

8 komentářů:

  1. Zdeněk Žíkovecký13. listopadu 2014 2:00

    (Re: ln p^q)
    Pokud bych ve zdrojáku nějaké mně neznámého programovacího jazyka našel "ln p ^ q", tak bych skutečně mohl považovat za pravděpodobnější, že se "ln" chová jako unární operand (podobně jako unární mínus nebo logická negace nebo bitový komplement), a má tedy přednost před binárním operátorem ^. Ovšem pokud čtu "ln p^q" v mailu, diskuzním příspěvku či jiném prostředí, kde autor nemá plnou kontrolu nad typografií (respektive se o ni z časových důvodů nesnaží), tak to čtu jako transliteraci dvoudimenzionální notace "ln p<sup>q</sup>" a index má pak přednost před horizontálně zapsanými operacemi. Není k tomu zapotřebí nějakých buněk pro matematiku o nic víc než ke správné interpretaci výrazu "2 / ½"; tam je snad zřejmé, že to není totéž jako "2 / 1 / 2". Pokud by to někdo napsal jako "2 / 1/2", pak opět záleží na tom, v jakém prostředí se to vyskytuje. Ve zdrojáku jsou obvykle mezery nevýznamné, takže pro počítač je to 1, ale pro člověka by to mohlo být matoucí a pokud to tak programátor skutečně mínil, tak tam ty mezery měl dát (případně pokud šetří místem, aby se mu složitější výraz vešel celý na jeden řádek, tak vynechat všechny). Když to budu číst v knize či článku, ať už tištěné či v nějakém elektronickém formátu, tak je to taky šlendrián a autor měl korektně použít závorky nebo superskript, ať už na úrovni hypertextu či na úrovni Unicode. V podstatě to však není nic zcela specifického pro matematiku - i v textu z jakéhokoli jiného oboru klademe jiné nároky na přesné vyjadřování podle toho, zda se jedná o předem připravený text, kde měl autor možnost provést korekturu, nebo improvizovaný projev v živé diskuzi; tam se jednak nějaké to vyšinutí vazeb dá tolerovat, a druhak tam jde stručnost (jinak řečeno kompresi - je to jako když se rozhodujeme, za jakých okolností je vhodnější použít .png a za jakých .jpeg.) A taky záleží na tom, v jaké fázi diskuze se nalézáme: zda jde o brainstorming, jehož smyslem je shromáždit data pro pozdější analýzu, nebo o "závěrečnou řeč" (použijeme-li analogii k soudni terminologii.)

    Najdeme-li na místě činu kapesník s iniciálami H. P. a uvědomíme li si, že to neukazuje jednoznačně na Hercula Poirota, ale že to tam mohla ztratit i Nataša Russkaja, projevili jsme přesně ten druh inteligence, který je třeba k interpretaci výše uvedených matematických výrazů. Tak jako k rozluštění záhady ztraceného kapesníku netřeba umět číst Gogola v originále a zcela postačí začátečnická znalost existence cyrilice, tak ani záhada vzorce "ln p^q" nevyžaduje zrovna nějakého einštajna.

    OdpovědětVymazat
    Odpovědi
    1. Já jsem toho názoru, že učební text by měl být naprosto jednoznačný a neměl by být koncipován tak, aby ho studenti luštili jako Champolion Rossetskou desku. A pokud není, tak to o něčem svědčí - mj. o kvalitě oboru jako takového.

      Vymazat
    2. Zdeněk Žíkovecký14. listopadu 2014 0:41

      Vždyť to píšu - učební text (či jiný podobné úrovně) má být jednoznačný. Ovšem při běžné diskuzi se používá komprese, při které se vynechává vše, co je považováno za samozřejmé; to je jeden ze základních principů lidské řeči - tak jako říkáme stručně "mobil" místo "mobilní telefon" nebo dokonce "mobilní zařízení pro dálkový přenos hlasu" (přitom slovo "mobil" už kdysi jeden význam mělo: byly to takové cerepetičky zavěšené na nitích a vahadélkách, které se otáčely při sebemenším pohybu vzduchu v místnosti); podobně "auto" místo "automobil" či "samočinně se pohybující vozidlo". Předpoklad samozřejmosti selhává, pokud autor neodhadne správně úroveň, na jaké se diskuze vede. Proto je vhodné tu úroveň dohodnout buď předem (například jak praví klasik: "Přátelé, abychom se dohodli na úrovni, na které se budeme pohybovat: předpokládám, že nemusím vysvětlovat rozdíl mezi slavistou a slávistou."; nebo jak praví jiný klasik k názvu "S úsměvem donkichota": "Diváci, kteří nás znají z představení "S úsměvem idiota" teď možná očekávají, že bude proveden zevrubný rozbor nového názvu, i s ukázkami, jako to bylo v případě prvém. Ale to provedeno nebude. Důvod je ten, že don Quijote je postava pevně románově zafixovaná, to si každý může přečíst než jsem jde, a pokud jsou zde snad diváci, kteří nevědí kdo to byl don Quijote, tak to si musí dát učitelé na školách do pořádku sami a ne nám sem posílat takový materiál."), a nebo aspoň až ve chvíli, kdy se v diskuzi na nějaký takový problém narazí.

      Vymazat
  2. Zdeněk Žíkovecký13. listopadu 2014 5:22

    Pokud je zde 10% studentů, kteří jsou při nějakém způsobu výuky úspěšní a nemají s ním potíže, tak z toho nelze vyvozovat, že je to nutně systém šitý jim na míru a vyhovuje jim. Za mnohem pravděpodobnější vysvětlení považuji to, že je to skupina těch, kteří se to naučí sami a je jim tedy zcela jedno, jestli to učitel umí podat srozumitelně či nikoliv.

    OdpovědětVymazat
    Odpovědi
    1. Jistěže se to z toho samotného procenta vyvozovat nedá, ale dá se to vyvozovat z obsahu, který matematikové do SŠ studia tlačí, i z toho, kam ti úspěšní po maturitě jdou. Mimochodem, vaše varianta je pro středoškolskou matematiku ještě tristnější než ta, kterou cituji.

      Vymazat
    2. Zdeněk Žíkovecký13. listopadu 2014 23:27

      Představme si epidemii, kterou přežije 10% pacientů. Dá se říci, že jim ta nemoc vyhovovala?
      Nebo si vezměme onu výuku plavání tím, že adepty naházíme do vody a někteří z nich včas sami přijdou na to, jak se to dělá, dříve než se utopí. Byl to pro ně nejvhodnější systém výuky? Nebylo by i pro ně lepší, kdyby jim předem někdo vysvětlil Archimedův zákon a to, že lidské tělo je při vdechu lehčí než voda a při výdechu těžší, takže pro udržení se na hladině stačí zachovávat dva principy: (1) po výdechu se rychle zase nadechnout, dříve než se tělo stačí ponořit, a (2) dbát na to, aby ta malá část, která ční nad hladinu, byl xicht?

      Vymazat
    3. velice nepříjemným faktem je to, že lidská hlava je plná kostí a proto má hustotu někde kolem 1,2 - to je jedna z hlavních příčin problémů ve vodě, by't tělo jako takové se vodě velice blíží

      Vymazat
  3. Zdeněk Žíkovecký14. listopadu 2014 4:22

    Tak jsem se zastavil v knihkupectví, abych se přesvědčil, jak se za těch 40 let změnily středoškolské matematické tabulky. Měli tam dvě verze, jedna se téměř nelišila od těch tehdejších, ale sem tam něco přibylo a všiml jsem si dvou věcí, o kterých v diskuzi zaznělo, že chybí:
    (1) statistika dřív končila průměrem, teď přibyla směrodatná odchylka a korelace;
    (2) přibyla plocha elipsy (i když pokud znám vzorec pro obsah čtverce, kruhu a obdélníka, tak asi není těžké uhodnout jen tak od oka, jak asi vypadá vzorec pro elipsu).

    Druhá publikce byla podrobnější a trochu jinak uspořadaná.

    OdpovědětVymazat